Question

【题目】已知直角梯形中，是边长为2的等边三角形，．沿将折起，使至处，且；然后再将沿折起，使至处，且面面，和在面的同侧．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 详见解析；(Ⅱ ) 平面与平面所构成的锐二面角的余弦值为．

【解析】

试题分析：(Ⅰ) 在直角梯形ABCD中，由平面几何知识，又，可证得平面；(Ⅱ ) 建立空间直角坐标系，利用法向量可求出二面角的余弦值．

试题解析：(Ⅰ)证明：在直角梯形ABCD中，可算得

根据勾股定理可得，即：，又，平面；

(Ⅱ) 以C为原点，CE为y轴，CB为z轴建立空间直角坐标系，如图，则,，，，作，因为面面，易知，，且，

从平面图形中可知：，易知面CDE的法向量为

设面PAD的法向量为，且．

解得

故所求平面与平面所构成的锐二面角的余弦值为．