Question

【题目】已知数列{an}满足an+1+an=4n﹣3，n∈N*
（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；
（2）当a1=﹣3时，求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若对任意的n∈N* ， 都有 ≥5成立，求a1的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an+1+an=4n﹣3，n∈N*，∴a2+a1=1，a3+a2=5，

∴a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{an}的公差为d，则2d=4，解得d=2．

∴2a1+2=1，解得a1=﹣

（2）解：∵an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1，∴an+2﹣an=4，a2=4．

∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．

∴a2k﹣1=﹣3+4（k﹣1）=4k﹣7；a2k=4+4（k﹣1）=4k．

∴an= ，

∴当n为偶数时，Sn=（a1+a2）+…+（an﹣1+an）=﹣3+9+…+（4n﹣3）= = ．

当n为奇数时，Sn=Sn+1﹣an+1= ﹣2（n+1）= ．

∴Sn=

（3）解：由（2）可知：an= ．

当n为奇数时，an=2n﹣2+a1，an+1=2n﹣1﹣a1，

由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，

令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6，当n=1或3时，[f（n）]max=2，∴ ﹣a1≥2，解得a1≥2或a1≤﹣1．

当n为偶数时，an=2n﹣3﹣a1，an+1=2n+a1，

由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： +3a1≥﹣4n2+16n﹣12，

令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4，当n=2时，[f（n）]max=4，∴ +3a1≥4，解得a1≥1或a1≤﹣4．

综上所述可得：a1的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．

【解析】（1）由an+1+an=4n﹣3，n∈N* ， 可得a2+a1=1，a3+a2=5，相减可得a3﹣a1=5﹣1=4，设等差数列{an}的公差为d，可得2d=4，解得d．（2）由an+1+an=4n﹣3，an+2+an+1=4n+1，可得an+2﹣an=4，a2=4．可得数列{an}的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为4．对n分类讨论利用等差数列的求和公式即可得出．（3）由（2）可知：an= ．当n为奇数时，an=2n﹣2+a1 ， an+1=2n﹣1﹣a1 ， 由 ≥5成立，an+1+an=4n﹣3，可得： ﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10，令f（n）=﹣4n2+16n﹣10，求出其最大值即可得出．当n为偶数时，同理可得．
【考点精析】通过灵活运用等差关系的确定和数列的前n项和，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系即可以解答此题．