Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣2x+c，且f（x）＞0的解集是 ．
（1）求f（2）的最小值及f（2）取最小值时f（x）的解析式；
（2）在f（2）取得最小值时，若对于任意的x＞2，f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得 ac=1c＞0

所以f（2）=4a﹣4+c≥2 ﹣4=0，

当且仅当4a=c即 时“=”成立，

由a= ，c=2得：f（x）= x2﹣2x+2

（2）解：由（1）可得f（x）= x2﹣2x+2= （x﹣2）2，

因为对于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，

∴m≤ （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞），恒成立，

故[ （x﹣2）+ ]min≥m即可，

又函数y= （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞）上递增，

所以[ （x﹣2）+ ]min=2 ，

当且仅当x=2+2 时“=”成立，

∴m≤2 ；

【解析】（1）由f（x）＞0的解集是 { x | x ≠ }可得出该二次函数的开口向上故a＞1，与x轴有且只有一个交点故f（）=0，可得出f（x）的解析式，f（2）的值，（2）由（1）求出的解析式，由于对于任意的x∈（2，+∞），f（x）+4≥m（x﹣2）恒成立，进行参变分离，得到m≤ （x﹣2）+ 在x∈（2，+∞）恒成立，从而求出m的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．