Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣t|+ （x＞0）；
（1）判断函数y=f（x）在区间（0，t]上的单调性，并证明；
（2）若函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：0＜x≤t，f（x）=t﹣x+ ，

∴f′（x）=﹣1﹣ ＜0，

∴函数y=f（x）在区间（0，t]上单调递减；

（2）解：t≤0，f（x）=x+t+ ，函数单调递增，无最小值，

t＞0时，x＞t，f（x）=x+ ﹣t，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥ ，

∴0＜t≤1，最小值为1．

【解析】（1）当0＜x≤t时，对f（x）进行求导，得到单调递减，（2）分类讨论，要使函数y=f（x）的最小值为与t无关的常数，则t≥,可求得t的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．