Question

【题目】（用空间向量坐标表示解答）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，F在CC1上，且CF=1．

（1）求证：EF⊥A1C；
（2）求二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，

建立空间直角坐标系，

B（2 ，2，0），C（0，4，0），E（ ，3，0），F（0，4，1），A1（0，0，4），

=（﹣ ，1，1）， =（0，4，﹣4），

=0+4﹣4=0，

∴EF⊥A1C．

（2）解： =（ ）， =（0，4，1），

设平面AEF的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ），

平面ACF的法向量 =（1，0，0），

设二面角C﹣AF﹣E的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明EF⊥A1C．（2）求出平面AEF的法向量和平面ACF的法向量，利用向量法能求出二面角C﹣AF﹣E的平面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识，掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点．