Question

【题目】已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0．
（1）求证：直线l恒过定点；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最长与最短的方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：将直线化为直线束方程：x+y﹣4+（2x+y﹣7）=0．联立方程x+y﹣4=0与2x+y﹣7=0，得点（3，1）；

将点（3，1）代入直线方程，不论m为何值时都满足方程，所以直线l恒过定点（3，1）

（2）解：当直线l过圆心与定点（3，1）时，弦长最大，代入圆心坐标得m= ．

当直线l垂直于圆心与定点（3，1）所在直线时弦长最短，斜率为2，代入方程得m=

此时直线l方程为2x﹣y﹣5=0，圆心到直线的距离为 ，所以最短弦长为4

【解析】（1）通过直线l转化为直线系，求出直线恒过的定点；（2）说明直线l被圆C截得的弦长最小时，圆心与定点连线与直线l垂直，求出斜率即可求出m的值，再由勾股定理即可得到最短弦长．