题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,
与
交于点
,
,
,
.
(Ⅰ)在线段上找一点
,使得
平面
,并证明你的结论;
(Ⅱ)若,
,
,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)取线段上靠近
的三等分点
,连接
,因为
,
,所以
,由
,得
,所以
,即可证明结论成立.
(II)以为坐标原点,以直线
分别为
轴,过点
且与
平面垂直的直线为
轴建立空间直角坐标系,求出平面
的一个法向量为
,平面
的个法向量为
,由向量法即可求出二面角的平面角.
(I)取线段上靠近
的三等分点
,连接
.因为
,
,所以
,所以
.而
,所以
,所以
.而
平面
.
平面
,故
平面
.
(II)易知
为等边三角形,所以
.又
,故
,所以有
.由已知可得
,又
,所以
平面
.以
为坐标原点,以直线
分别为
轴,过点
且与
平面垂直的直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则
,所以
,
,
,
,则
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,则有
即
设,则
,所以
.
设平面的个法向量为
,则有
即
令,则
,所以
.
所以.
因为二面角为锐角,故所求二面角的余弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定:机动车行经人行道时,应当减速慢行;遇行人正在通过人行道,应当停车让行,俗称“礼让斑马线”, 《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定:对不礼让行人的驾驶员处以扣3分,罚款50元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)请利用所给数据求违章人数与月份
之间的回归直线方程
;
(2)预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.
参考公式: ,
.
参考数据: .
【题目】某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
年份 | 2007 | 2008 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 |
年份代号t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
人均纯收入y | 2.9 | 3.3 | 3.6 | 4.4 | 4.8 | 5.2 | 5.9 |
(1)求y关于t的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,