Question

11．设S是由满足下列两个条件的实数所构成的集合：
①1∉S；②若a∈S，则$\frac{1}{1-a}$∈S．请解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；
（2）求证：若a∈S且a≠0，则1-$\frac{1}{a}$∈S；
（3）集合S能否只含有一个元素？若能，求出这个元素；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由2∈S知$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，从而可得$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈S；
（2）由a∈S知 $\frac{1}{1-a}$∈S，从而可证明1-$\frac{1}{a}$∈S；
（3）由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S；再说明三个数不相等即可．

解答 解：（1）∵2∈S，
∴$\frac{1}{1-2}$=-1∈S，
∴$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$∈S；
∴S中其他两个数为-1，$\frac{1}{2}$；
（2）证明：∵a∈S，
∴$\frac{1}{1-a}$∈S，
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}$=1-$\frac{1}{a}$∈S．
（3）解：由（1）知，a∈S，$\frac{1}{1-a}$∈S，1-$\frac{1}{a}$∈S；
若a=$\frac{1}{1-a}$，则a²-a+1=0，无解；
故a≠$\frac{1}{1-a}$；
同理可证明：a≠1-$\frac{1}{a}$，1-$\frac{1}{a}$≠$\frac{1}{1-a}$；
故集合S中至少有三个不同的元素．

点评 本题考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题．