题目内容
【题目】如图,椭圆的左右焦点
、
恰好是等轴双曲线
的左右顶点,且椭圆的离心率为
,
是双曲线
上异于顶点的任意一点,直线
和
与椭圆的交点分别记为
、
和
、
.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线、
的斜率分别为
、
,求证:
为定值;
(3)若存在点满足
,试求
的大小.
【答案】(1);(2)定值为
,见解析;(3)
.
【解析】
(1)设椭圆的焦距为,由题意得出
,由椭圆的离心率可计算出
,进而求出
的值,由此可得出椭圆
的方程;
(2)设点,可得出
,再结合斜率公式可计算出
的值;
(3)设直线的方程为
,可得出直线
的方程为
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,利用韦达定理和弦长公式计算出
,同理得出
,利用平面向量数量积的定义得出
,计算出
,即可得出
的大小.
(1)设椭圆的焦距为,由题意知
,
,
,
又离心率,
,故
,则椭圆
的方程为
;
(2)设,则
,可得
,
由此(定值);
(3)由(2)知,设直线
的方程为
,则直线
方程为
,
联立消去
,得:
,
记,
,则
,
,
,同理
,
.
由题意:,
故,
.
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