题目内容
【题目】设椭圆
的上顶点为A，右顶点为B.已知
（O为原点）.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设点
，直线
与椭圆交于两个不同点M，N，直线AM与x轴交于点E，直线AN与x轴交于点F，若
.求证：直线l经过定点.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由
知
，根据
，即可求出离心率（2）由
结合（1）可求出椭圆方程，设
，
，得出
点坐标，联立
与椭圆方程，根据韦达定理可得
，
，利用
化简可求m，可求出直线所过定点.
（1）设椭圆的半焦距为c，由已知有，
又由，
消去b得
，
解得
.
所以，椭圆的离心率为；
（2）由点知
，又
所以
所以椭圆的方程为
，
设，，
则直线AM的方程为
，
令
，得点E的横坐标
，
所以点
，
同理，点
，
由
得
，
则
，
，
所以
.
所以
.
解得
，此时
，
所以直线l经过定点
.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费
（单位：万元）对年销售量
（单位：吨）和年利润
（单位：万元）的影响．对近六年的年宣传费
和年销售量
（
）的数据作了初步统计，得到如下数据：
年份 |
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年宣传费 |
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年销售量 |
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经电脑模拟，发现年宣传费（万元）与年销售量（吨）之间近似满足关系式
（
）．对上述数据作了初步处理，得到相关的值如表：
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（1）根据所给数据，求关于的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润与，的关系为
若想在
年达到年利润最大，请预测年的宣传费用是多少万元？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，
