题目内容
【题目】已知函数,其中为自然对数的底数.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论的范围,求出函数的单调区间即可;(2)令只需在使即可,通过讨论的范围,求出函数的单调区间,求出函数的最值,从而确定的范围即可.
解:(1)由题意可知, ,
当时,,此时在上单调递增;
当时,令,解得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
当时,令,解得,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增;
综上,当时,在上单调递增;
当时,时,单调递减,
时单调递增;
当时,时,单调递减,
时单调递增.
(2)由,
可得,,
令,
只需在使即可,
,
①当时,,当时,,当时,,
所以在上是减函数,在上是增函数,
只需,
解得,所以;
②当时,在上是增函数,
在上是减函数,在上是增函数,
则,解得,
③当时,,在上是增函数,
而成立,
④当时,在上是增函数,
在上是减函数,在上是增函数,
则,解得.
综上,的取值范围为.
【题目】某学校研究性学习小组对该校高三学生的视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表,并得到如下直方图:
年级名次/是否近视 | 1-50 | 951-1000 |
近视 | 41 | 32 |
不近视 | 9 | 18 |
(1)若直方图中后四组的频数成等差数列,试估计全年级视力在5.0以下的人数;
(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到如上述表格中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系;
(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50名的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.
附:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |