题目内容

7.已知f(x)=ex-x2+b,曲线y=f(x)与直线y=ax+1相切于点(1,f(1))
(I)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:当x>0时,[ex+(2-e)x-1](3+cosx)-4xsinx>0.

分析 (Ⅰ)求出f(x)的导数,求得切线的斜率和切点坐标,解方程可得a,b的值;
( II)由(Ⅰ)得,f(x)=ex-x2,首先证明:当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1.运用导数和单调性可证;因x>0,则$\frac{{e}^{x}+(2-e)x-1}{x}$≥x(当且仅当x=1时等号成立).再证明:当x>0时,x>$\frac{4sinx}{3+cosx}$.通过令p(x)=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$,求出导数,判断单调性,即可得证.

解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ex-2x.  
由题设得a=f′(1)=e-2,a+1=f(1)=e-1+b.
故a=e-2,b=0.  
( II)由(Ⅰ)得,f(x)=ex-x2
下面证明:当x>0时,f(x)≥(e-2)x+1.
设g(x)=f(x)-(e-2)x-1,x>0.
则g′(x)=ex-2x-(e-2),
设h(x)=g′(x),则h′(x)=ex-2,
当x∈(0,ln2)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.
又h(0)=3-e>0,h(1)=0,0<ln2<1,h(ln2)<0,
所以?x0∈(0,1),h(x0)=0,
所以当x∈(0,x0)或x∈(1,+∞)时,g′(x)>0;
当x∈(x0,1)时,g′(x)<0,
故g(x)在(0,x0)和(1,+∞)单调递增,在(x0,1)单调递减,
又g(0)=g(1)=0,所以g(x)=ex-x2-(e-2)x-1≥0.
因x>0,则$\frac{{e}^{x}+(2-e)x-1}{x}$≥x(当且仅当x=1时等号成立).①,
以下证明:当x>0时,x>$\frac{4sinx}{3+cosx}$.
令p(x)=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$,则p′(x)=1-$\frac{4(3cosx+1)}{(3+cosx)2}$=$\frac{(cosx-1)(cosx-5)}{(3+cosx)2}$≥0,
(当且仅当x=2kπ,k∈Z时等号成立).
所以p(x)在(0,+∞)单调递增,当x>0时,p(x)=x-$\frac{4sinx}{3+cosx}$>p(0)=0,
即x>$\frac{4sinx}{3+cosx}$.②
由①②得当x>0时,$\frac{{e}^{x}+(2-e)x-1}{x}$>$\frac{4sinx}{3+cosx}$,
又x(3+cosx)>0,
故[ex+(2-e)x-1](3+cosx)-4xsinx>0.

点评 本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,主要考查单调性的运用,同时考查不等式的证明,注意运用构造函数的方法,属于中档题.

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