Question

18．函数f（x）=cos²x+sinx在区间$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$上的最小值是$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 化余弦为正弦，然后令sinx=t换元，利用x的范围求得t的范围，配方后求得函数最小值．

解答 解：f（x）=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1．
令sinx=t，
∵x∈$[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]$，∴t=sinx∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
则y=$-{t}^{2}+t+1=-（t-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，t∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
当t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，${y}_{min}=-（-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}=\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角函数最值的求法，考查了利用换元法求二次函数的最值，是基础题．