Question

9．已知函数y=f（x）定义在R上，当x＞0时，f（x）＞1，对任意m，n∈R，f（m+n）=f（m）f（n） 
（1）证明：f（x）在R上单调递增；
（2）若f（2）=9，解方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x+3）-1=f（1）．

Answer 1

分析 （1）先证明f（x）＞0，然后利用函数单调性的定义进行证明即可
（2）利用赋值法求出f（3）=9，f（0）=1，f（1）=3，将方程进行转化，结合一元二次方程的解法进行求解即可．

解答 解：（1）证明：f（x）在R上单调递增；
∵对任意m，n∈R，f（m+n）=f（m）f（n）
∴$f（x）={f^2}（\frac{x}{2}）≥0$，假设存在t，使f（t）=0，则f（x）=f（x-t+t）=f（x-t）f（t）=0，与题设矛盾，所以f（x）＞0．
设x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁+x₁）-f（x₁）
=f（x₁）（f（x₂-x₁）-1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）为单调递增函数．
（2）若f（2）=9，则f（1+1）=f（1）f（1）=9，则f（1）=3，
令m=n=0，则f（0）=f²（0），
∵f（x）＞0，∴f（0）=1，
则f（3）=f（1+2）=f（1）f（2）=3×9=27．
则方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x+3）-1=f（1）．
等价为方程[f（x）]²+$\frac{1}{9}$f（x）f（3）-1=3．
即[f（x）]²+$\frac{1}{9}$×27f（x）-4=0，
即[f（x）]²+3f（x）-4=0，
解得f（x）=1或f（x）=-4（舍），
∵f（x）为单调递增函数，且f（0）=1，
∴x=0，即方程的解为x=0．

点评 本题考查函数单调性的判断与应用，考查赋值法的运用，考查学生的推理能力，属于难题．