题目内容
8．已知函数$f（x）=\frac{|x|}{x-2}+a{x^2}$恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．分析 令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得$\frac{1}{x-2}$+a|x|=0只有一个根，即有-$\frac{1}{a}$=|x|（x-2）只有一个根．作出函数函数y=g（x）的图象，将直线y=-$\frac{1}{a}$平移，即可得到a的不等式，解得a的范围．
解答 
解：令f（x）=0可得x=0为一个根，
由题意可得$\frac{1}{x-2}$+a|x|=0只有一个根，
即有-$\frac{1}{a}$=|x|（x-2）只有一个根．
设g（x）=|x|（x-2）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x＞0}\\{-x（x-2），x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数y=g（x）的图象，
将直线y=-$\frac{1}{a}$平移，可得当-$\frac{1}{a}$＞0或-$\frac{1}{a}$＜-1，
直线和函数y=g（x）的图象只有一个交点．
解得a＜0或0＜a＜1．
则a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．
点评 本题考查函数的零点的判断，考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
3．
已知一颗小米粒等可能地落入如图所示的平面四边形 ABCD（AD=$\frac{3}{2}$CD）内的任意一个位置，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在$\frac{2}{5}$附近，记点 B到直线 AD的距离与点 B到直线CD的距离的比值为λ，则函数f（x）=cos2x+2λsinx的最大值与最小值之和为（ ）
已知一颗小米粒等可能地落入如图所示的平面四边形 ABCD（AD=$\frac{3}{2}$CD）内的任意一个位置，如果通过大量的试验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在$\frac{2}{5}$附近，记点 B到直线 AD的距离与点 B到直线CD的距离的比值为λ，则函数f（x）=cos2x+2λsinx的最大值与最小值之和为（ ）| A． | $-\frac{3}{2}$ | B． | $-\sqrt{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\sqrt{2}$ |
17．已知b＞a＞0，且a+b=1，那么（ ）
| A． | 2ab＜$\frac{{a}^{4}-{b}^{4}}{a-b}$＜$\frac{a+b}{2}$＜b | B． | 2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜$\frac{{a}^{4}-{b}^{4}}{a-b}$＜b | ||
| C． | $\frac{{a}^{4}-{b}^{4}}{a-b}$＜2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜b | D． | 2ab＜$\frac{a+b}{2}$＜b＜$\frac{{a}^{4}-{b}^{4}}{a-b}$ |