Question

12．已知顶点为坐标原点O的抛物线C₁与双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）都过点M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$），且它们有共同的一个焦点F．则双曲线C₂的离心率是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设抛物线方程为y²=2px（p＞0），将M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入，可求抛物线方程，再利用双曲线的定义可求双曲线的a，再由离心率公式可得e．

解答 解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
将M（$\frac{2}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）代入y²=2px，得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x，焦点为F（1，0），
由题意知双曲线的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），∴c=1，
对于双曲线，2a=|MF₁|-|MF₂|=$\sqrt{（\frac{2}{3}+1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$-$\sqrt{（\frac{2}{3}-1）^{2}+（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}$=$\frac{7}{3}$-$\frac{5}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴a=$\frac{1}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=3．
故选B．

点评 本题主要考查利用待定系数法求抛物线、双曲线方程，注意挖掘题目隐含，将问题等价转化．