题目内容

4.某中学校本课程开设了A,B,C,D共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生.
(Ⅰ)求在D课程没有被选中的条件下,A课程被甲选中的概率;
(Ⅱ)记“这3名学生选择A课程的人数”为X,求X的分布列和数学期望.

分析 (1)利用条件概率的概念求出n(E)=3×3×3=27,n(EF)=3×3=9,继而得出结论.
(2)两种方法处理此题,一种是常规的方法,一种是独立重复试验利用二项分布解题.

解答 解:(1)设“D课程没有被选中”为事件E,“甲选择了A课程”为事件F,
则n(E)=3×3×3=27,n(EF)=3×3=9,则P(E|F)=$\frac{n(EF)}{n(F)}=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}$,
(2)解法一:X的所有可能取值为0,1,2,3,且
P(X=0)=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$,P(X=1)=$\frac{{C}_{3}^{1}{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{27}{64}$,
P(X=2)$\frac{{C}_{3}^{2}}{{4}^{3}}=\frac{9}{64}$,P(X=3)=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{4}^{3}}=\frac{1}{64}$
所以X的分布列为

 X 0 1 2 3
 P $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$
所以X的数学期望EX=$0×\frac{27}{64}+1×\frac{27}{64}+2×\frac{9}{64}+3×\frac{1}{64}=\frac{3}{4}$
解法二:因为A选修课被每位同学选中的概率均为$\frac{1}{4}$,没被选中的概率均为$\frac{3}{4}$,
所以X的所有可能取值为0,1,2,3,且X~B(3,$\frac{1}{4}$)
P(X=0)=($\frac{3}{4}$)3=$\frac{27}{64}$,P(X=1)=${C}_{3}^{1}×\frac{1}{4}×(\frac{3}{4})^{2}=\frac{27}{64}$,
P(X=2)=${C}_{3}^{2}(\frac{1}{4})^{2}×\frac{3}{4}=\frac{9}{64}$,P(X=3)=($\frac{1}{4}$)3=$\frac{1}{64}$
所以X的分布列为
 X 0 1 2 3
 P $\frac{27}{64}$ $\frac{27}{64}$ $\frac{9}{64}$ $\frac{1}{64}$
所以X的数学期望EX=3×$\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

点评 本题主要考查了条件概率的求解方法和独立重复试验的思路,属常考题型.

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