题目内容
5．
已知：椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，短半轴长为$\sqrt{3}$；斜率为$\frac{b}{a}$的动直线l与椭圆C交于A，B两点，与x轴，y轴相交于P，Q两点（如图所示）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）试探究$\frac{|AP|}{|BQ|}$是否为定值？若是定值，试求出该定值；若不是定值，请说明理由．
分析 （Ⅰ）由题意，得b=$\sqrt{3}$，所以a2-c2=3，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得，a=2c求得椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$，联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，利用中点公式求的所需证明结论．
解答 解：（Ⅰ）由题意，得b=$\sqrt{3}$，所以a2-c2=3，①，
又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得，a=2c．②
由①②得a=2．所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（Ⅱ）①当直线l过原点时，由椭圆得对称性，可知，|AP|=|BQ|，即$\frac{|AP|}{|BQ|}=1$
以下给出具体证明过程：
由（Ⅰ）得$\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，故设直线l的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{2}x+n$
令y=0，得x=$-\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，故P（$-\frac{2\sqrt{3}}{3}n，0$）；
令x=0，得y=n，故Q（0，n）
故PQ中点横坐标为$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{2}x+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$
消去y，得3x2+2$\sqrt{3}$nx+2n2-6=0
令△=12n2-12（2n2-6）＞0，得$-\sqrt{6}＜n＜\sqrt{6}$
当$-\sqrt{6}＜n＜\sqrt{6}$时，直线l与椭圆C相交于A，B
设A（x1，y1），B（x2，y2）
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2\sqrt{3}}{3}n$，$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
所以线段AB的中点横坐标为$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
又因为线段PQ的中点的横坐标为$-\frac{\sqrt{3}}{3}n$
所以$\frac{|AP|}{|BQ|}=1$
综合①②可知，$\frac{|AP|}{|BQ|}$为定值，且定值为1
点评 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，属难题．在高考中常作为压轴题目．
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