Question

4．在三棱锥PABC中，G为△ABC的重心，设$\overrightarrow{PA}$=a，$\overrightarrow{PB}$=b，$\overrightarrow{PC}$=c，则$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）（用a，b，c表示）．

Answer 1

分析 利用三角形重心的性质定理、三角形法则、向量的线性运算即可得出．

解答 解：如图，取BC的中点D，
∵G为△ABC的重心，
则在△ABC中，$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）．
∴$\overrightarrow{PG}$-$\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{PB}$-$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$-$\overrightarrow{PA}$）
∴$\overrightarrow{PG}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{PA}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{PB}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow{PC}$
=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）．
故答案为：$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$）．

点评 本题考查了三角形重心的性质定理、三角形法则、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．