题目内容
12.如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,侧面PAD是正三角形,且侧面PAD⊥底面ABCD,E为侧棱PD的中点.(1)求证:PB∥平面EAC;
(2)求证:AE⊥平面PCD;
(3)若直线AC与平面PCD所成的角为30°,求$\frac{CD}{AD}$的值.
分析 (1)连结BD交AC于O,连结EO,可证EO∥PB,即可证明PB∥平面EAC.
(2)要证明AE⊥平面PCD,只要证明AE?面PAD,且平面PAD⊥平面PDC即可.
(3)由(2)可得直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE,可求$正△PAD中,AE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$,$AC=\sqrt{3}AD$,又$\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{3}AD$,解得$CD=\sqrt{2}AD$,从而求得$\frac{CD}{AD}=\sqrt{2}$.
解答 解:(1)连结BD交AC于O,连结EO,
∵O、E分别为BD、PD的中点,
∴EO∥PB,E0?平面EAC,PB?平面EAC,
∴PB∥平面EAC.….(6分)
(2)∵$\left.\begin{array}{l}矩形ABCD⇒CD⊥AD\\ 面PAD∩面ABCD=AD\\ 面ABCD⊥面PAD\end{array}\right\}\left.{\begin{array}{l}{⇒CD⊥面PAD}\\{CD?面PDC}\end{array}}\right\}⇒面PDC⊥面PAD$,CD?面ABCD,正三角形PAD中,E为PD的中点,
∴AE⊥PD,
又面PDC∩面PAD=PD,AE?面PAD,
∴AE⊥平面PCD….(10分)
(3)由(2)AE⊥平面PCD,直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE.
∴Rt△ACE中,∠ACE=30°,AC=2AE,又$正△PAD中,AE=\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$,
∴$AC=\sqrt{3}AD$,又矩形$ABCD中,AC=\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}$,由$\sqrt{A{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{3}AD$,
解得$CD=\sqrt{2}AD$,
∴$\frac{CD}{AD}=\sqrt{2}$…..(14分)
点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,考查了空间想象能力和推论论证能力,属于基本知识的考查.
A. | 2 | B. | -1 | C. | 1 | D. | ±1 |
A. | 300 | B. | 400 | C. | 500 | D. | 600 |
A. | 若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题 | |
B. | 命题“?x∈R,x2-x-1<0”的否定是““?x∈R,x2-x-1≥0” | |
C. | 当a<0时,幂函数y=xa在(0,+∞)上单调递减 | |
D. | “φ=$\frac{π}{2}$”是“y=sin(2x+φ)为偶函数”的充要条件 |