Question

【题目】已知圆，直线．

（1）若直线与圆交于不同的两点，当时，求实数的值；

（2）若是直线上的动点，过作圆的两条切线、，切点为、，试探究：直是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点

【解析】

（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得；

（2）解法1：设切点，，动点，求出两条切线方程，计算出直线的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，、、、四点共圆且在以为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标.

（1），点到的距离，

即，解得.

（2）解法1：设切点，，动点，则圆在点处的切线方程为

，所以，即

同理，圆在点处的切线方程为

又点是两条切线的交点，

，，

所以点，的坐标都适合方程，

上述方程表示一条直线，而过、两点的直线是唯一的，

所以直线的方程为：.

设，

则直线的方程为，

即，

，解得，

故直线过定点.

解法2：由题意可知：、、、四点共圆且在以为直径的圆上，

设，则此圆的方程为：，

即：，

又、在圆上，

两圆方程相减得，

即，

，解得，

故直线过定点.