题目内容
【题目】对数函数
（
且
）和指数函数
（且）互为反函数.已知函数
，其反函数为
．
（1）若函数
定义域为
，求实数
的取值范围．
（2）若
为定义在上的奇函数，且
时，
．求的解析式．
（3）定义在
上的函数
，如果满足：对任意的
，存在常数
，都有
成立，则称函数是上的有界函数，其中
为函数的上界.若函数
，当
时，探究函数
在
上是否存在上界，若存在求出的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）k＞1，（2）
，（3）见解析
【解析】
（1）根据对数函数的定义域为R，转化为kx2+2x+1 > 0恒成立，进行求解（2）根据奇函数的性质及
时的解析式即可求函数的解析式（3）利用分子常数化，结合上界的定义分别进行判断、求解即可.
（1）由题意知，
，
的定义域为R，
恒成立，
当
时，不满足条件，
当
时，若不等式恒成立，
则
，即
.
（2）时，
，
设
，则
，
，
为定义在
上的奇函数，
，
当
时，
，
，
综上
（3）
，
当
，
则
在
上单调递减，
，
①若
，即
时，存在上界M，
，
②若
，即
时，存在上界M，
，
(ii) 当
时，
①若
时，在
，
上单调递增，
，
，存在上界
，
，
，
②若
时，
在，上单调递增，
，，故不存在上界．
③若
时，在，
上单调递增，在
，上单调递增，
，
，故不存在上界，
④若
，
在
，上单调递增，，
，故不存在上界
⑤若
，在，上单调递增，，，而
，存在上界，
，；
综上所述，当时，存在上界，，，
当
时，不存在上界，
当时，存在上界，，，
当
，
时，存在上界，，，
当
，时，存在上界，
，．
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