题目内容
【题目】已知函数
(1)若对任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(2)当时,若函数
有两个极值点
,求
的最大值.
【答案】(1) ; (2)
.
【解析】
(1)f(x)=alnx﹣x+1,利用导数性质结合分类讨论思想,能求出实数a的取值范围.
(2)g(x)=alnx﹣x+,g′(x)=
,由此利用导数性质能求出当x=e时,t(x)取得最大值,最大值为t(e)=
.
(1),
当时,
,所以
在
内单调递减,
则有,从而
当时,
,得
,当
,有
,则
在
上内单调递增,此时
,与
恒成立矛盾,因此不符合题意
综上实数的取值范围为
.
( 2 )则
由已知,可得,即方程
有2个不相等的实数根
,
则,解得
,其中
而g(x2)﹣g(x1)=alnx2﹣x2+﹣alnx1+x1﹣
=aln
+(x1﹣x2)+(
﹣
)
=(x2+)lnx22+
﹣x2+
+x2
=2[(+x2)lnx2+
﹣x2],
由可得
,又
,所以
设,
,由
,则
,故
所以在
单调递增,当
时,
取得最大值,最大值为
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