题目内容
【题目】已知
，
.
（1）当
时，求函数
图象在
处的切线方程；
（2）若对任意
，不等式
恒成立，求
的取值范围；
（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【解析】
(1)利用导数的几何意义求得函数
图象在
处的切线方程为
.（2）
先求导得
，再对a分类讨论得到
的取值范围.(3对a分类讨论，结合极大值小于极小值求出的取值范围.
解：（1）当
时，
，
，则
.
又因为
，所以函数图象在处的切线方程为
，
即.
（2）因为
所以
，
且.因为
，所以
.
①当
时，即
，
因为
在区间
上恒成立，所以在上单调递增.
当
时，
，
所以满足条件.
②当
时，即
时，
由
，得
，
当
时，
，则在
上单调递减，
所以时，
，这与时，
恒成立矛盾.
所以不满足条件.
综上，的取值范围为.
（3）①当时，
因为
在区间
上恒成立，所以在上单调递增，
所以不存在极值，所以不满足条件.
②当
时，
，所以函数的定义域为，
由，得，
列表如下：
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| ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
由于在
是单调减函数，此时极大值大于极小值，不合题意，
所以不满足条件.
③当
时，由，得
.
列表如下：
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| ↘ | 极小值 | ↗ |
此时仅存在极小值，不合题意，
所以不满足条件.
④当
时，函数的定义域为
，
且
，
.
列表如下：
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| ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
所以存在极大值
和极小值
，
此时
因为
，
所以
，
，
，
，
所以
，即
，
所以满足条件.
综上，所以的取值范围为.
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