Question

【题目】已知圆，直线.

（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；

（2）若直线与圆相交于，求时的方程.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）或.

【解析】

（1）先由直线方程，求出直线所过定点，根据点与圆位置关系，即可判断出结果；

（2）当直线轴时，根据题意，直接得出直线方程；当直线斜率存在时，根据圆的半径，弦长的一半，以及点到直线的距离，三者满足勾股定理，即可求出所求直线斜率，进而可得直线方程.

（1）因为可化为，

由解得：，即直线恒过点；

又，所以点在圆内；

所以直线与圆恒交于两点；

（2）当直线轴时，由（1）知恒过点，所以，将代入圆的方程得，此时满足题意；

当直线斜率存在时，设的方程为：，即；

因为圆圆心为，半径；又弦长，

设圆心到直线的距离为，

则，解得：，

所以的方程为：，即：.

故所求直线方程为：或.