Question

【题目】在直角坐标系中，椭圆的方程为，左右焦点分别为，，为短轴的一个端点，且的面积为.设过原点的直线与椭圆交于两点，为椭圆上异于的一点，且直线，的斜率都存在，.

（1）求的值；

（2）设为椭圆上位于轴上方的一点，且轴，、为曲线上不同于的两点，且，设直线与轴交于点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）设点A（x1，y1）、P（x2，y2），则B（-x1，-y1），将点A、P的坐标代入椭圆C的方程，得出两个等式，将两等式相减，结合直线PA、PB的斜率之积，得出=，再利用△RF1F2的面积为，得出bc＝，联立两个方程，可求出a、b的值；
（2）设直线QM的斜率为k，结合已知条件得出直线QN的斜率为-k，将直线QM的方程与椭圆方程联立，求出点M的横坐标，利用-k代替k得出点N的横坐标，然后利用斜率公式得出直线MN的斜率为，于是得出直线MN的方程为y＝x+d，将直线MN的方程与椭圆C的方程联立，由△＞0并结合点Q在直线MN的上方可得出d的取值范围．

（1）解：设，，则，

进一步得，，，

两个等式相减得，，

所以，所以，

因为，所以，即，

设，，

因为，所以，

由的面积为得，，即，

即，，所以，；

（2）设直线的斜率为，

因为，所以，关于直线对称，

所以直线的斜率为，

算得，，

所以直线的方程是，

设，

由消去得，，

所以，所以，

将上式中的换成得，，

所以 ，

所以直线的方程是，

代入椭圆方程得，，

所以，所以，

又因为在点下方，所以，所以.