题目内容
【题目】已知圆,点
是直线
上的一动点,过点
作圆
的切线
,切点为
.
(1)当切线的长度为
时,求点
的坐标;
(2)若的外接圆为圆
,试问:当
在直线
上运动时,圆
是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,说明理由.
(3)求线段长度的最小值.
【答案】(1)或
(2)圆过定点
(3)
【解析】
试题分析:(1)根据圆M的标准方程即可求出半径r=2和圆心M坐标(0,4),并可设P(2b,b),从而由条件便可求出|MP|==4,这样便可求出b的值,即得出点P的坐标;(2)容易求出圆N的圆心坐标(b,
),及半径,从而可得出圆N的标准方程,化简后可得到(2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0,从而可建立关于x,y的方程,解出x,y,便可得出圆N所过的定点坐标;(3)可写出圆N和圆M的一般方程,联立这两个一般方程即可求出相交弦AB的直线方程,进而求出圆心M到直线AB的距离,从而求出弦长
,显然可看出
时,AB取最小值,并求出该最小值
试题解析:(1)由题意知,圆的半径
,设
,
∵是圆
的一条切线,∴
,
∴,解得
,
∴或
. ………………………4分
(2)设,∵
,
∴经过三点的圆
以
为直径,
其方程为, ……………………6分
即,
由, ………………………8分
解得或
,
∴圆过定点, ………………………10分
(3)因为圆方程为
,
即,
圆,即
,
②-①得:圆方程与圆
相交弦
所在直线方程为:
, ………………………12分
点到直线
的距离
,
,…………14分
当时,
有最小值
. ………………………16分
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