Question

【题目】已知函数，且．

（1）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；

（2）设函数，当时，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）因为函数在区间上是减函数，则恒成立，转化为二次函数恒成立问题，得解；（2）令，恒成立等价于恒成立，利用导数讨论的单调性求最值.

试题解析：（1）因为函数在区间上是减函数，则，

即在上恒成立

当时，令得，

①若，则，解得；②若，则，解得．

综上，实数的取值范围是．

（2）令，则，

根据题意，当时，恒成立．

所以．

①当时，时，恒成立，

所以在上是增函数，且，所以不符合题意

②当时，时，恒成立．

所以在上是增函数，且，所以不符题意．

③当时，时，恒有，故在上是减函数，

于是“对任意都成立”的充要条件是，

即，解得，故

综上，的取值范围是．