Question

【题目】在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为 ．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），由题意可得 = ，

两边平方可得x2+y2﹣2x+1= （x2﹣4x+4），

即有 +y2=1，

可得轨迹E的方程为 +y2=1；

（2）解：联立 ，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），

由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣ ，

由题意可设C（﹣ ，0），D（0，m），

△OAC的面积与△OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立

线段AB的中点和线段CD中点重合．

即有﹣ =﹣ ，解得k=± ，

即存在定值k=± ，对于满足条件的m≠0，且|m|＜

的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等

【解析】（1）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得C，D的坐标，由△OAC的面积与△OBD的面积相等|AC|=|BD|恒成立线段AB的中点和线段CD中点重合．运用中点坐标公式，解方程可得k的值，即可判断存在．