题目内容
【题目】已知,
.
(1)若函数的单调递减区间为
,求函数
的图象在点
处的切线方程;
(2)若不等式恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析: (1)求出函数g(x)的导函数,令导函数小于0,根据不等式的解集得到相应方程的两个根,将根代入求出a值,再根据g(x)的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率,利用点斜式求出切线方程;(2)求出不等式,分离出参数a,构造函数h(x),利用导数求出最大值,求出a的范围.
试题解析:
(1),由题意,知
的解集是
,
即方程的两根分别是
.(由韦达定理有
∴a=-1)
将或
代入方程
,得
,
∴,
,∴
,
∴的图像在点
处的切线斜率
,
∴函数的图像在点
处的切线方程为:
,即
;
(2)∵恒成立,
即对一切
恒成立,
整理可得对一切
恒成立,
设,则
,
令,得
(舍),
当时,
单调递增;当
时,
单调递减,
∴当时,
取得最大值
,∴
.
故实数的取值范围是
.
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练习册系列答案
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩(百分制)如表所示:
序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
数学成绩 | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理成绩 | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
若数学成绩90分(含90分)以上为优秀,物理成绩85(含85分)以上为优秀.有多少把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系( )
A.99.5%
B.99.9%
C.97.5%
D.95%