题目内容
【题目】已知函数,
的导函数为
.
(1)试讨论函数的零点个数;
(2)若对任意的,关于
的不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)先求函数的定义域,然后求函数的导数,对
分类讨论,将
的零点问题,转化为直线
与函数
图象的交点个数来求解出来.(2)构造函数
,将原问题转化为
对
恒成立,先利用
确定
的一个范围,然后利用
的二阶导数验证在这个范围内,
的最大值不大于零,由此求得
的取值范围.
解:(1)由题意得的定义域为
,
.
(i)当时,
,此时没有零点;
(ii)当时,
,
的零点个数等于直线
与函数
图象的交点个数,可知直线
与函数
图象的相切点
,此时切线的斜率为
.
①当,即
时,两个图象没有交点,即函数
没有零点;
②当,即
时,两个图象有两个交点,即函数
有两个零点;
③当,即
时两个图象有一个交点,即函数
有一个零点;
④当,即
时,两个图象有一个交点,即函数
有一个零点.
综上,当时,函数
没有零点;
当或
时,
有一个零点;
当时,
有两个零点.
(2)设
,
要使原不等式恒成立,则只要对
恒成立,
所以.
令,则
.
由于“对
恒成立”的一个必要条件是
,即
.
当时,
,
,
所以在
上单调递减.
所以,
,从而
在
上单调递减,则
,
,
所以实数的取值范围为
.
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