题目内容
【题目】在棱长为1的正方体中,点
是对角线
上的动点(点
与
不重合),则下列结论正确的是__________
①存在点,使得平面
平面
;
②存在点,使得平面
平面
;
③的面积可能等于
;
④若分别是
在平面
与平面
的正投影的面积,则存在点
,使得
【答案】①②③④
【解析】
根据正方体的结构特征,利用线面位置关系的判定定理和性质定理,以及三角形的面积公式和投影的定义,即可求解,得到答案.
①如图所示,当是
中点时,可知
也是
中点且
,
,
,所以
平面
,所以
,同理可知
,
且,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
,故正确;
②如图所示,取靠近
的一个三等分点记为
,记
,
,因为
,所以
,所以
为
靠近
的一个三等分点,
则为
中点,又
为
中点,所以
,且
,
,
,所以平面
平面
,且
平面
,
所以平面
,故正确;
③如图所示,作,在
中根据等面积得:
,
根据对称性可知:,又
,所以
是等腰三角形,
则,故正确;
④如图所示,设,
在平面
内的正投影为
,
在平面
内的正投影为
,所以
,
,当
时,解得:
,故正确.
故答案为 ①②③④

练习册系列答案
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有
的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附: