题目内容

3.已知函数f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x(a∈R)在区间(-2,2)不单调,则a的取值范围是$(-8,-\frac{1}{2})∪(-\frac{1}{2},4)$.

分析 由题意可得f′(x)=3x2+(2-2a)x-a(a+2)=0在区间(-2,2)上有解,再利用二次函数的性质分类讨论求得a的范围.

解答 解:由题意可得f′(x)=3x2+(2-2a)x-a(a+2)=0在区间(-2,2)上有解,
故有$\left\{\begin{array}{l}{△>0}\\{-1<\frac{1-a}{3}<1}\\{f′(-2)>0}\\{f′(2)>0}\end{array}\right.$①,或 f′(-2)f(2)<0 ②.
可得,a的取值范围是$(-8,-\frac{1}{2})∪(-\frac{1}{2},4)$.
故答案为:$(-8,-\frac{1}{2})∪(-\frac{1}{2},4)$.

点评 本题主要考查函数的单调性与导数的关系,二次函数的性质应用,属于中档题.

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