Question

2．抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品A₁、A₂、A₃，假定A₁正面向上的概率为$\frac{1}{2}$，A₂正面向上的概率为$\frac{1}{3}$，A₃正面向上的概率为t（0＜t＜1），把这三枚金属制品各抛掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．
（1）求ξ的分布列及数学期望Eξ（用t表示）；
（2）令a_n=（2n-1）cos（$\frac{6nπ}{5+6t}$Eξ）（n∈N⁺），求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）通过求出ξ=0、1、2、3时相应的概率，进而求出ξ的分布列及数学期望Eξ；
（2）通过（1）、化简可知a_n=（-1）ⁿ（2n-1），进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可求出S_n．

解答 解：（1）依题意，ξ的可能取值为0、1、2、3，
P（ξ=0）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•（1-t）=$\frac{2-2t}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•（1-t）+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•（1-t）+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•t=$\frac{3-t}{6}$，
P（ξ=2）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•（1-t）+$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{3}$•t+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•t=$\frac{2t+1}{6}$，
P（ξ=3）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$•t=$\frac{t}{6}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{2-2t}{6}$	$\frac{3-t}{6}$	$\frac{2t+1}{6}$	$\frac{t}{6}$

数学期望Eξ=0•$\frac{2-2t}{6}$+1•$\frac{3-t}{6}$+2•$\frac{2t+1}{6}$+3•$\frac{t}{6}$=$\frac{5+6t}{6}$；
（2）由（1）可知a_n=（2n-1）cos（$\frac{6nπ}{5+6t}$•$\frac{5+6t}{6}$）
=（2n-1）cos（nπ）
=（-1）ⁿ（2n-1），
当n为偶数时，S_n=[（-1）+3]+[（-5）+7]+…+[-（2n-3）+（2n-1）]
=2•$\frac{n}{2}$
=n；
当n为奇数时，S_n=[（-1）+3]+[（-5）+7]+…+[-（2n-5）+（2n-3）]+[-（2n-1）]
=2•$\frac{n-1}{2}$-（2n-1）
=n-1-2n+1
=-n；
综上所述，S_n=（-1）ⁿ•n．

点评 本题考查离散型随机变量及其分布列、期望，考查数列的求和，注意解题方法的积累，属于中档题．