Question

8．若函数f（x）=$\frac{x-4}{m{x}^{2}+4mx+3}$的定义域为R，则实数m的取值范围为[0，$\frac{3}{4}$）．

Answer 1

分析 把函数f（x）=$\frac{x-4}{m{x}^{2}+4mx+3}$的定义域为R，转化为对任意实数x，mx²+4mx+3≠0恒成立．然后分m=0和m≠0求解．

解答 解：∵函数f（x）=$\frac{x-4}{m{x}^{2}+4mx+3}$的定义域为R，
∴对任意实数x，mx²+4mx+3≠0恒成立．
若m=0，mx²+4mx+3≠0恒成立；
若m≠0，则△=（4m）²-12m＜0，即0$＜m＜\frac{3}{4}$．
综上，实数m的取值范围为[0，$\frac{3}{4}$）．
故答案为：[0，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，是基础题．