题目内容
如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=AA1=2,M、N分别是A1C1、BC1的中点.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231314414913598.jpg)
(I)求证:BC1⊥平面A1B1C;
(II)求证:MN∥平面A1ABB1;
(III)求多面体M—BC1B1的体积.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231314414913598.jpg)
(I)求证:BC1⊥平面A1B1C;
(II)求证:MN∥平面A1ABB1;
(III)求多面体M—BC1B1的体积.
(I)(II)见解析(Ⅲ)![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131441631544.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131441631544.png)
(I)∵直三棱柱ABC—A1B1C1,
∴B1B⊥面A1B1C1. 1分
∴B1B⊥A1B1.
又∵A1B1⊥B1C1,
∴A1B1⊥面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1,
连结B1C,∵矩形BCC1B1中,BB1=CB=2,
∴BC1⊥B1C,
∴B1C⊥平面A1B1C. 5分
(II)连结A1B,由M、N分别为A1C1、BC1的中点可得,
MN∥A1B
又∵A1B1
平面A1ABB1,MN
平面A1ABB1,
∴MN∥平面A1ABB1. 10分
(III)取C1B1中点H,连结MH、MB1、MB,
又∵M是A1C1中点,
∴MH∥A1B1,
又∵A1B1⊥平面BBC1B1,
∴MH⊥平面BCC1B1,
∴三棱锥M—BC1B1以MH为高,△BC1B1为底面,
三棱锥M—BC1B1的体积
14分
∴B1B⊥面A1B1C1. 1分
∴B1B⊥A1B1.
又∵A1B1⊥B1C1,
∴A1B1⊥面BCC1B1.
∴A1B1⊥BC1,
连结B1C,∵矩形BCC1B1中,BB1=CB=2,
∴BC1⊥B1C,
∴B1C⊥平面A1B1C. 5分
(II)连结A1B,由M、N分别为A1C1、BC1的中点可得,
MN∥A1B
又∵A1B1
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131441647214.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823131441663276.png)
∴MN∥平面A1ABB1. 10分
(III)取C1B1中点H,连结MH、MB1、MB,
又∵M是A1C1中点,
∴MH∥A1B1,
又∵A1B1⊥平面BBC1B1,
∴MH⊥平面BCC1B1,
∴三棱锥M—BC1B1以MH为高,△BC1B1为底面,
三棱锥M—BC1B1的体积
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231314416781451.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目