Question

14．设{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=S_n+n，n∈N^*，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得a_n=S_n-1+（n-1）（n≥2），与原递推式作差后构造等比数列{a_n+1}，然后由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=S_n+n，得
a_n=S_n-1+（n-1）（n≥2），
两式作差可得a_n+1-a_n=a_n+1，
即a_n+1=2a_n+1（n≥2），
∴a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2），
∴数列{a_n+1}从第二项起，构成公比为2的等比数列，
∵a₁=2，∴a₂=a₁+1=3，
则a₂+1=4．
∴${a}_{n}+1=4•{2}^{n-2}={2}^{n}$，
${a}_{n}={2}^{n}-1（n≥2）$．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n}-1，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．