题目内容
18.关于x的方程(x2-2)2-2|x2-2|+k=0,给出下列四个命题:①存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根;
②存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根;
③存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根;
④存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根;
其中假命题的个数为0.
分析 关于x的方程(x2-2)2-2|x2-2|+k=0可化为(x2-2)2-2(x2-2)+k=0(x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$)(1)或(x2-2)2+2(x2-2)+k=0(-$\sqrt{2}$<x<$\sqrt{2}$)(2);举出特例,逐一判断四个命题的真假,可得答案.
解答 解:关于x的方程(x2-2)2-2|x2-2|+k=0可化为(x2-2)2-2(x2-2)+k=0(x≥$\sqrt{2}$或x≤-$\sqrt{2}$)(1)
或(x2-2)2+2(x2-2)+k=0(-$\sqrt{2}$<x<$\sqrt{2}$)(2)
当k=-3时,方程(1)的解为±$\sqrt{5}$,方程(2)的无解,原方程恰有2个不同的实根;
当k=1时,方程(1)的解为±$\sqrt{3}$,方程(2)的解为±1,原方程恰有4个不同的实根;
当k=0时,方程(1)的解为±2,±$\sqrt{2}$,方程(2)的解为x=0,原方程恰有5个不同的实根;
当k=$\frac{3}{4}$时,方程(1)的解为±$\frac{\sqrt{10}}{2}$,±$\frac{\sqrt{14}}{2}$,方程(2)的解为±$\frac{\sqrt{2}}{2}$,±$\frac{\sqrt{6}}{2}$,原方程恰有8个不同的实根;
故错误的命题为0个,
故答案为:0
点评 本题考查了分段函数,以及函数与方程的思想,本题分类比较复杂,属于中档题.
练习册系列答案
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