求函数f(x)=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$值域．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

13．求函数f（x）=

\frac{2^{x} - 2^{- x}}{2^{x} + 2^{- x}}

$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$ 值域．

分析利用分式的性质，结合指数函数的单调性进行求解即可．

解答解：f（x）= $\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$ = $\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$ = $\frac{{4}^{x}+1-2}{{4}^{x}+1}$ =1- $\frac{2}{{4}^{x}+1}$ ，
∵4^x＞0，∴1+4^x＞1，
0＜ $\frac{1}{{4}^{x}+1}$ ＜1
0＜ $\frac{2}{{4}^{x}+1}$ ＜2，-2＜- $\frac{2}{{4}^{x}+1}$ ＜0，
-1＜1- $\frac{2}{{4}^{x}+1}$ ＜1，
即-1＜f（x）＜1，
故函数的值域为（-1，1）．

点评本题主要考查函数值域的求解，根据指数函数的性质，利用分子常数化是解决本题的关键．

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