Question

13．求函数f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$值域．

Answer 1

分析 利用分式的性质，结合指数函数的单调性进行求解即可．

解答 解：f（x）=$\frac{{2}^{x}-{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=$\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}$=$\frac{{4}^{x}+1-2}{{4}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{4}^{x}+1}$，
∵4^x＞0，∴1+4^x＞1，
0＜$\frac{1}{{4}^{x}+1}$＜1
0＜$\frac{2}{{4}^{x}+1}$＜2，-2＜-$\frac{2}{{4}^{x}+1}$＜0，
-1＜1-$\frac{2}{{4}^{x}+1}$＜1，
即-1＜f（x）＜1，
故函数的值域为（-1，1）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，根据指数函数的性质，利用分子常数化是解决本题的关键．