Question

某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？

Answer 1

（1）函数关系式为y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).
（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,).

（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x) (万元)，
销售量为1 000×(1+0.6x)(辆).
故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×(1+0.6x),                                 5分
整理得y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).           
（2）要保证本年度利润比上一年有所增加，则y-(1.2-1)×1 000＞0,                    10分
即-60x²+20x+200-200＞0,即3x²-x＜0.                       12分
解得0＜x＜，适合0＜x＜1.
故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜.        13分答 （1）函数关系式为y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).
（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,).                                 14分