Question

【题目】已知函数f（x）=x﹣ ． （Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣ 的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），

任取x∈D，则﹣x∈D，

且f（﹣x）=﹣x﹣ =﹣（x﹣ ）=﹣f（x），

∴f（x）是定义域上的奇函数；

（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣ ）﹣（x2﹣ ）

=（x1﹣x2）+（ ﹣ ）

= ；

∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，

x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，

∴ ＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

【解析】（Ⅰ）求出函数f（x）的定义域，利用奇偶性的定义即可判断f（x）是奇函数；（Ⅱ）利用单调性的定义即可证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．