Question

已知函数f(x)＝x³－2x²＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．
(1)求a的值和切线l的方程；
(2)设曲线y＝f(x)上任一点处的切线的倾斜角为θ，求θ的取值范围

Answer 1

(1)由题设知k_l＝－1，所以方程f′(x)＝x²－4x＋a＝－1有两个等根，即Δ＝16－4(a＋1)＝0.解得a＝3.
此时，由方程x²－4x＋4＝0，结合已知解得切点为.
所以切线l的方程为y－＝－(x－2)，即3x＋3y－8＝0.
(2)设曲线y＝f(x)上任一点(x，y)处的切线的斜率为k(由题意知k存在)，则由(1)，
知k＝x²－4x＋3＝(x－2)²－1≥－1.
由正切函数的单调性，知θ的取值范围为∪.

略