Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，向量$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$．
（1）若|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值；
（2）在（1）的条件下，求$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$时实数k的值．

Answer 1

分析 （1）将等式平方展开，求出向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的数量积，利用数量积公式求夹角；
（2）在（1）的条件下，由$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$得到数量积为0，展开得到关于k的等式解之．

解答 解：（1）由已知得到|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=4即${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4$，所以$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，所以向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角θ的余弦值为：$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$；
（2）$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{CD}$时，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CD}$=0，所以（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•（2$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{b}$）=${6\overrightarrow{a}}^{2}-2k{\overrightarrow{b}}^{2}+3k\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$．即24-2k+$\frac{3}{2}k$-2=0，解得k=44．

点评 本题考查了利用向量的数量积公式求夹角以及向量垂直的性质的运用；比较基础．