题目内容

已知函数,其中
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个极值点,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.
(1);(2)分别在上单调递增,在上单调递减;(3)不存在,使得.

试题分析:(1)当时,,那么曲线在点处的切线的斜率,根据点斜式写出直线的方程为;(2)函数求导得
由于函数的定义域是,因此只需要讨论分子在上的正负问题;(3)假设存在,使得,那么计算出,问题归结为是否成立,可设函数 ,所以上单调递增,因此不存在,使得.
试题解析:(1)当时,,所以 

又因为切线过,所以切线方程为 
(2)的定义域为
,其判别式     
①当,故上单调递增
② 当的两根都小于0,在上,,故上单调递增.     
③当,设的两根为,  
时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递减.
(3)由(2)可知:当上有两个极值点 
因为
所以   
由(2)可知:,于是
若存在,使得,则,即
亦即   
设函数
时, ,所以上单调递增,
,所以
这与式矛盾.故不存在,使得
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