题目内容
【题目】已知抛物线的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点
到焦点F的距离等于3.则下列说法正确的是( )
A.抛物线的方程是B.抛物线的准线是
C.的最小值是
D.线段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】
求得抛物线的焦点和准线方程,运用抛物线的定义可得p,进而得到抛物线方程和准线方程;求得,设
,
,直线l的方程为
,联立抛物线方程,运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值,可得圆Q的半径,由中点坐标公式可得Q的坐标,运用直角三角形的锐角三角函数的定义,可得所求
的最小值.
抛物线的焦点为
,得抛物线的准线方程为
,
点到焦点
的距离等于3,可得
,解得
,
则抛物线的方程为
,准线为
,故A错误,B正确;
由题知直线的斜率存在,
,
设,
,直线
的方程为
,
由,消去
得
,
所以,
,
所以,所以AB的中点Q的坐标为
,
,故线段AB的最小值是4,即D错误;
所以圆Q的半径为,
在等腰中,
,
当且仅当时取等号,
所以的最小值为
,即C正确,
故选:BC.
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