题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交x轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q．若抛物线C上存在一点
到焦点F的距离等于3．则下列说法正确的是（ ）
A.抛物线的方程是
B.抛物线的准线是
C.
的最小值是
D.线段AB的最小值是6
【答案】BC
【解析】
求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p，进而得到抛物线方程和准线方程；求得
，设
，
，直线l的方程为
，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得线段AB的最小值，可得圆Q的半径，由中点坐标公式可得Q的坐标，运用直角三角形的锐角三角函数的定义，可得所求
的最小值.
抛物线
的焦点为
，得抛物线的准线方程为
，
点
到焦点
的距离等于3，可得
，解得
，
则抛物线
的方程为
，准线为
，故A错误，B正确；
由题知直线
的斜率存在，，
设，，直线的方程为，
由
，消去
得
，
所以
，
，
所以
，所以AB的中点Q的坐标为
，
，故线段AB的最小值是4，即D错误；
所以圆Q的半径为
，
在等腰
中，
，
当且仅当
时取等号，
所以的最小值为
，即C正确，
故选：BC.
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