Question

【题目】已知函数（）.

（Ⅰ）设为函数的导函数，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在上有最大值，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，分，两种情况分析导函数正负；

（Ⅱ）借助（Ⅰ）中单调性结论，分类讨论，当时，利用放缩，，分析即得解.

（Ⅰ）

令，；

1°当时，，∴在上递增，无减区间

2°当时，令，

令

所以，在上单调递增，在上单调递减；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，∴在（0，+∞）上递增，∴

∴在上递增，无最大值，不合题意；

1°当时，

∴在上递减，∴，

∴在上递减，无最大值，不合题意；

2°当时，，

由（Ⅰ）可知在上单调递增，在上单调递减；

设，则；

；令

∴在上单调递减，在单调递增；

∴，即

由此，当时，，即.

所以，当时，.

取，则，且.

又因为，所以由零点存在性定理，存在，使得；

当时，，即；当时，，即；

所以，在上单调递增，在上单调递减，在上有最大值.

综上，