Question

10．平面内，点P在以O为顶点的直角内部，A，B分别为两直角边上两点，已知$|{\overrightarrow{OP}}|=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}=1$，则当|AB|最小时，sin∠AOP=（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，设$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}＞=θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），利用已知可得|AB|=$\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{sinθ}=\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$，换元后可得当$θ=\frac{π}{4}$时，|AB|最小，则答案可求．

解答 解：如图，

设$＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OP}＞=θ$（0$＜θ＜\frac{π}{2}$），则$＜\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{OB}＞=\frac{π}{2}-θ$，
∵$|{\overrightarrow{OP}}|=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OA}=2$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OB}=1$，
∴$2|\overrightarrow{OA}|cosθ=2，2|\overrightarrow{OB}|cos（\frac{π}{2}-θ）=2$，
则$|\overrightarrow{OA}|=\frac{1}{cosθ}，|\overrightarrow{OB}|=\frac{1}{sinθ}$，
则|AB|=$\frac{1}{cosθ}+\frac{1}{sinθ}=\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$，
令sinθ+cosθ=t，则t=$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∵0$＜θ＜\frac{π}{2}$，∴t∈（1，$\sqrt{2}$]．
sinθcosθ=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴|AB|=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}}=\frac{2t}{{t}^{2}-1}=\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$，
∴当t=$\sqrt{2}$时，|AB|有最小值，此时$θ=\frac{π}{4}$．
∴sin∠AOP=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．