Question

已知O为坐标原点，向量

OA

=（1，sinα），

OB

=（0，cosα），

OC

=（2，-sinα），点P满足

AB

=

BP

．
（1）若O、P、C三点共线，求tanα的值；
（2）记函数f（α）=

PB

•

CA

，求函数f（α）的值域．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）设P（x，y），由

AB

=

BP

即可求得P（-1，2cosα-sinα），所以

OP

=(-1，2cosα-sinα)，而由O，P，C三点共线即可得到4cosα=3sinα，所以得到tanα=

4

3

；
（2）可由

OA

，

OB

，

OC

，

OP

的坐标求出向量

PB

，

CA

的坐标，然后进行数量积的坐标运算，并运用二倍角的正余弦公式，两角和的正弦公式求得f（α）=-

2

sin(2α+

π

4

)，所以根据正弦函数的最值求得f（α）的值域．

解答： 解：（1）设P（x，y），由已知条件得：（-1，cosα-sinα）=（x，y-cosα）；
∴

x=-1 y=2cosα-sinα

；
∴P（-1，2cosα-sinα）；
∴

OP

=(-1，2cosα-sinα)，

OC

=(2，-sinα)；
若O、P、C三点共线，则

OP

，

OC

共线，并且存在-2使

OC

=-2

OP

；
∴-sinα=-4cosα+2sinα）；
∴4cosα=3sinα；
∴tanα=

4

3

；
（2）f（α）=（1，sinα-cosα）•（-1，2sinα）=-1+2sin²α-sin2α=-cos2α-sin2α=-

2

sin(

π

4

+2α)；
∴f（α）∈[-

2

，

2

]；
即f（α）的值域为[-

2

，

2

]．

点评：考查向量减法的坐标运算，以及共线向量基本定理，向量数量积的坐标运算，以及二倍角的正余弦公式、两角和的正弦公式、正弦函数的最值．