Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上横坐标为4的点到焦点的距离为5．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线y=kx+b与抛物线C交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0，且a为常数）．过弦AB的中点M作平行于x轴的直线交抛物线于点D，连结AD、BD得到△ABD．
（Ⅰ）求证：a²k²=16（1-kb）；
（Ⅱ）求证：△ABD的面积为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意得：4+

1

2

p=5，解方程求出p值，可得求抛物线C的方程；
（2）（Ⅰ）联立直线和抛物线的方程得：ky²-4y+4b=0，由韦达定理得：y₁+y₂=

4

k

，y₁•y₂=

4b

k

．由|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，整理得a²k²=16（1-kb）；
（Ⅱ）由（ I）知AB中点M（

2-bk

k2

，

2

k

），所以点D的坐标为（

1

k2

，

2

k

），依题意知：△ABD的面积S=

1

2

•DM•|y₁-y₂|，整理得S=

a3

32

．又由a为常数，故△ABD的面积为定值．

解答： 解：（1）依题意得：4+

1

2

p=5，解得p=2．
所以抛物线方程为y²=4x．
证明：（2）（ I）由方程组

y=kx+b y2=4x

，
消去x得：ky²-4y+4b=0．（※）
依题意可知：k≠0．
由韦达定理得：y₁+y₂=

4

k

，y₁•y₂=

4b

k

．
由|y₁-y₂|=a，得（y₁+y₂）²-4y₁•y₂=a²，
即

16

k2

-

16b

k

=a2，整理得-16kb=a²k²，
所以a²k²=16（1-kb）．
（ II）由（ I）知AB中点M（

2-bk

k2

，

2

k

），
所以点D的坐标为（

1

k2

，

2

k

），
依题意知：△ABD的面积S=

1

2

•DM•|y₁-y₂|=

a

2

×|

1-bk

k2

|．
又因为方程（※）中判别式△=16-16kb＞0，得1-kb＞0．
所以S=

a

2

×

1-bk

k2

，由（ I）可知1-kb=

a2k2

16

，
所以S=

a

2

×

a2

16

=

a3

32

．
又由a为常数，故△ABD的面积为定值．

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的标准方程，熟练掌握抛物线的基本性质，是解答的关键．