题目内容
已知椭圆
经过点
,对称轴为坐标轴,焦点
在
轴上,离心率
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)求
的角平分线所在直线
的方程;
(Ⅲ)在椭圆
上是否存在关于直线
对称的相异两点?
若存在,请找出;若不存在,说明理由.





(Ⅰ)求椭圆

(Ⅱ)求


(Ⅲ)在椭圆


若存在,请找出;若不存在,说明理由.

(1)
(2)
(3)不存在满足题设条件的点B和C.


有关解析几何的问题,常常涉及曲线的方程,此时往往要注意利用有关曲线的定义来解决,同时还会涉及直线与有关曲线的交点问题,在处理过程中往往需要结合二次方程的根与系数的关系解决
(I)设椭圆E的方程为
,

将A(2,3)代入上式,得
∴椭圆E的方程为
(II)解法1:由(I)知
,所以直线AF1的方程为:
直线AF2的方程为:
由点A在椭圆E上的位置知,直线l的斜率为正数.设
上任一点,则
若
(因其斜率为负,舍去).
所以直线l的方程为:
解法2:

(III)解法1:
假设存在这样的两个不同的点

由于M在l上,故
①
又B,C在椭圆上,所以有
两式相减,得
即
将该式写为
,并将直线BC的斜率
和线段BC的中点,表示代入该表达式中,得
②
①×2—②得
,即BC的中点为点A,而这是不可能的.
∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法2:假设存在
,则
得一元二次方程
则
是该方程的两个根,由韦达定理得
于是
∴B,C的中点坐标为
又线段BC的中点在直线
即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.
(I)设椭圆E的方程为


将A(2,3)代入上式,得

∴椭圆E的方程为

(II)解法1:由(I)知






所以直线l的方程为:

解法2:

(III)解法1:
假设存在这样的两个不同的点


由于M在l上,故

又B,C在椭圆上,所以有


即




①×2—②得

∴不存在满足题设条件的点B和C.
解法2:假设存在









即B,C的中点坐标为(2,3),与点A重合,矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.

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